578有没有比黑暗森林更黑暗的理论?

 2021年11月27日

囚徒困境,而且是加强版。

2003 年的时候,在一个叫「音速论坛(sonicbbs)中推理天下版块,一位叫「加菲鼠」的网友提了一个问题:

五个囚犯先后从 100 颗绿豆中抓绿豆。抓得最多和最少的人将被处死,不能交流,可以摸出剩下绿豆的数量,谁的存活几率最大?

这道题还有几个需要知道的点:

1、他们都是很聪明的人;

2、他们的原则是先求保命,再去多杀人;

3、100 颗不必都分完,但要保证每人至少抓一颗;

4、若有重复的情况,则也算最大和最小,一并处死

通过解答这道题,希望能帮助大家通过数学得到一些关于人生的感悟。

这个问题的解答,取决于我们如何从数学的角度理解题干。
首先,我们来看题干,题目给出的条件是这样的:

1、他们都是很聪明的人;

2、他们的原则是先求保命,再去多杀人;

3、100 颗不必都分完,但要保证每人至少抓一颗;

4、若有重复的情况,则也算最大和最小,一并处死。

这里面最重要的就是第 2 条:他们都是很聪明的人,他们的原则是先求保命,再去多杀人;

对此我的理解是:

a) 因为每个人都不能指望别人犯错,因此抓豆的策略是:在剩下的人采取最佳方案的时候,自己的存活概最大;

b) 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同,则采取杀死人最多的方案;
而在这个解读下,这个问题或许会走向一个可怕的结局。

下面,我尽量不用数学语言,而是用通俗的语言来分析这个问题。

首先要说明的是,题目要求每个人都至少抓一颗绿豆,所以第一个人抓完绿豆后,至少要留 4 颗绿豆给剩下的 4 个人;同理,第二个人要留至少 3 颗绿豆给后面的人;第三个人要留 2 颗;第 4 个人要留 1 颗。

我们先不管第 1 个人咋样,其实第 2 个人到第 5 个人的策略是显而易见的。

情况讨论:

下面我分两种情况讨论:

1. 如果第 1 个人取的绿豆数超过了 20 颗(也就是总和的 1/5)。

那么,对于第 2 个人来说,他的最佳策略是:

l 比第 1 个人取的绿豆数少至少 1 颗,且在这个范围内尽可能多取;

l 至少剩下 3 颗绿豆给后面 3 个人。

这是因为,第 1 个人已经取了超过均值数的绿豆数,后面一定有人取不到 20 颗。第 2 个人比均值少取 1 颗,就可以保证自己不是最多或者最少的,自己必然存活。而在自己存活的情况下,尽可能让后面的人少取绿豆,让后面的人「卷」起来,所以在规则允许的情况下,比第一个人少 1 颗是最好的。

当然,如果第 1 个人取了至少 50 颗绿豆,那第 2 个人的策略就是取到剩下 3 颗即可,这样就能让剩下的 3 个人都只能取 1 颗,除了第 2 个人自己,其他人都面临必死的结局啦。

对于第 3、4 个人来说,如果剩下的绿豆数少于 60 颗、40 颗,那么策略是类似的:

首先要保证自己比前面取得最多的人至少少一颗(因为他们看不到前面的人取的绿豆数,所以只能取比前面所有人的均值严格少的绿豆数);其次是留尽可能少的绿豆给后面的人;而如果剩下的绿豆数多于 60 颗、40 颗,说明剩下的绿豆数足够,那他们就尽量取前面人取绿豆的均值,来让自己不是最多或最少的可能达到最多。(我们称之为「均值策略」)。

将上述的策略描述成数学语言,就是:

定义: m_{n} 为第 n 个人取走的绿豆数,而 M_{n} 为前 n 个人取走的总绿豆数

引理:当 1-3 人取过绿豆数时,如果如果被取走的绿豆数满足 20n,则第 n+1 人个人应该取 min(96-M_{n}+n,[(M_{n}-1)/n]) 颗绿豆

而对于第 5 个人来说,他可能别无选择了:如果剩下的绿豆数足够,那就尽可能取前面 4 个绿豆数的均值;如果不足够,就全取完,然后祈祷。

不知道你发现没,我们好像有意无意地忽略了第 1 个人的诉求——因为无论如何,他一定是取绿豆数最多的人,必死无疑了。

第 1 个人当然不愿意就这样坐以待毙,所以他选择方案 2 :

2. 1 个人至多取 20 颗绿豆。

在这个情况下,第 2 个人将面临什么样的局势呢?

如果他取的绿豆数比第 1 个人多,并且和第 1 个人取的绿豆总和超过了 40 颗,那么按照上面分析的,若第 3、4 个人采取策略:「比前面所有人的均值严格少,且尽可能留最少的绿豆数给后面的人」,第 5 个人采取策略:「取前 4 个人的均值,如果不够则取完」,那么第 2 个人毫无疑问就成为了取绿豆数最多的人,必死无疑。

所以第 2 个人取的绿豆数必须要少于 40 减去第一个人取的绿豆数。

在这种情况下,第 3、4、5 个人都会采用「均值策略」来确保自己存活的概率最大。

用数学语言讲:就是当 n=2,3 时,若 M_{n}<20n,则第 n+1 个人应该取 [M_{n}/n+0.5] 颗绿豆。

这个时候,一个有趣的情况出现了:

l 如果第 2 个人取的绿豆数比第 1 个人多,那么他会因为自己取的绿豆数全场最多而死;

l 如果第 2 个人取的绿豆数比第 1 个人少,那么他会因为自己取的绿豆数全场最少而死;

l 如果第 2 个人取的绿豆数和第 1 个人相同,那么所有人取的绿豆数都相同,所有人都得死。

咦?第 2 个人横竖都得死?

对了,刚才我们似乎忽略了第 1 个人,好像他也是横竖都得死?

现在,让我们把镁光灯聚焦到第 1 个人头上。

他仔细思考了第 2~5 个人可能采取的策略,发现了「自己必死」的可怕现实。

那么对他来说,或许要面临一个抉择了:

如果自己的存活概率为 0,那么按照规则,自己是要尽可能多杀人还是多救人?

如果按照之前的假定,他应该多杀人,那他的选择其实很简单:取走 96 颗绿豆!那剩下的人只能各自取 1 颗绿豆,所有人都必死了

但如果,他有了恻隐之心,反正自己必死,不如多救几个,按照之前讨论的情况 1,他可以选择取走 21~33 颗绿豆:

如果他取了 21 颗,后面的人分别取 20、20、20、19 颗,第 2~4 个人存活;如果取了 33 颗,后面的人分别取 32、32、2、1 颗,同样,第 2~4 个人存活。

如果少于 21 颗,按照之前的分析,第 2 个人肯定得死;如果多于 33 颗,第 4 个人只能取 1 颗,必然死。

所以,第 1 个取 21~33 颗是最好的选择——可以救下 3 个人。

如果是你,会怎么选择呢?是让大家同归于尽,还是尽可能救下别人?

作者:曾加

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